sábado, 18 de febrero de 2017

Cuadernillo Matemático

Hace tiempo, en diciembre de 2005, se me ocurrió la idea de elaborar una especie de cuaderno con preguntas relacionadas con contenidos matemáticos. Lo hice pensando en un grupo de alumnos de 4º de ESO que tenía ese año y que eran muy curiosos, en el sentido de que les gustaban los retos y las propuestas que les hacía en clase. De ahí nació lo que llamé el "Cuadernillo Matemático" que adjunto a esta entrada por si alguien, si le parece bien y oportuno, lo pueda usar con sus alumnos. Está pensado para un nivel de 4º de ESO aunque, como es normal, hay cierta flexibilidad y puede ser usado también en 3º ESO Académicas o Bachillerato.



¿Alguien se anima? Si es así, espero comentarios.

sábado, 26 de noviembre de 2016

Pequeños o grandes, pero humildes, proyectos de investigación o experimentación, ¿te animas?

En algunas ocasiones, a veces de forma espontánea, propongo lo que yo llamo pequeñas y humildes experimentos o investigaciones. Observar, preguntar, reflexionar, pensar, planificar, experimentar, responder, comunicar...son palabras, más bien verbos, que forman parte de un hecho natural en el ser humano y un principio básico en la metodología científica: observamos y nos hacemos preguntas (hay veces que observamos y desconocemos lo que observamos, es natural que busquemos respuestas), queremos respuestas y para ello elaboramos hipótesis, finalmente llevamos a cabo experiencias (que hay que planificar) para ver si aceptamos o rechazamos nuestras suposiciones (hipótesis, o también para que surjan nuevas preguntas) Finalmente damos una explicación y la comunicamos (el acto de comunicar, difundir y compartir los resultados y sus consecuencias, no sólo es un acto de generosidad,  es lo que ha hecho progresar a la humanidad)

Fases del método científico
La idea es simple: partimos de algo que observamos y nos hacemos preguntas. Ahora realizamos hipótesis, es decir, afirmaciones que pensamos van a ser ciertas en relación a lo que nos preguntamos. 

Posteriormente pensamos (planificamos) el experimento o la investigación para intentar dar una respuesta, elegimos los instrumentos adecuados para obtener datos que nos permita justificar una respuesta coherente y sensata. Los instrumentos científicos pueden ser variados, como puede observar en el siguiente enlace obtenido de la wikipedia: instrumentos científicos. A veces no hacen falta instrumentos tan sofisticados, sino algunos de los más habituales como: regla milimetrada, hilo, compás, papel, etc. En algunas ocasiones es necesario buscar información relacionada con nuestra investigación, ya que puede ocurrir que alguien haya pensado en lo mismo y, por tanto, nos permita ahorrar trabajo y, por ejemplo, no caer en algunos errores. Ésta se puede encontrar en libros, revistas e incluso por Internet. En cualquier caso, siempre procura que sean fuentes de información fiables, es decir, que se pueda confiar en que dicha información es cierta.

Realizamos el experimento y tomamos datos relevantes que nos van a interesar para luego extraer conclusiones. Estos datos son información que es conveniente organizar, bien con tablas o gráficos, ya que normalmente son números que resultan de medir algo, y que nos ayudarán a entender mejor los mismos.

Posteriormente se intenta dar una respuesta a nuestras preguntas iniciales en base a los datos obtenidos en la experimentación y comprobando si nuestras hipótesis iniciales se cumplen o no.

Por último, siempre es conveniente redactar todo lo acontecido en nuestra investigación y comunicarlo a otras personas.

Propuesta: Tomamos un libro de texto cualquiera que tengas este curso. ¿Te has preguntado cuál es el grosor de una de sus hojas?

Eliges el libro de texto y una hoja cualquiera. Empiezas a hacer hipótesis del tipo "Creo que el grosor es de ....". Imagino que tomas tu regla e intentas medir el grosor de la hoja...llevándote una decepción porque el grosor es tan pequeño que no puedes observar con precisión su medida porque es menor que la longitud mínima que señala tu regla. ¿Qué hacer? Habrá que plantear algo que nos permite dar una respuesta a la pregunta y que valide, o no, nuestra hipótesis.

¿Te animas?



miércoles, 16 de noviembre de 2016

Míriam Bettinetti gana la IV Olimpiada Nacional de Estadística

Esta noticia la escribo un poco tarde pero ya lo dice el refrán, "Más vale tarde que nunca".
El curso pasado la alumna de 2º de Bachillerato de Ciencias de nuestro centro, Míriam Bettinetti Luque, participó junto con su tutor, Nicolás Guillén Escalona, en la IV Olimpiada Nacional de Estadística (organizada por el INE, Instituto Nacional de Estadística, la SEIO, Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa y la FEE, Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense de Madrid). Alrededor de 500 centros educativos de España pudieron participar en cualquiera de las siguientes categorías: Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Ciclos Formativos de Grado Medio.

Los objetivos fundamentales de esta Olimpiada eran:
  • Promover la curiosidad y el interés en la Estadística entre los estudiantes.
  • Incentivar en los docentes el uso de nuevos materiales para la enseñanza de la Estadística fomentando la utilización de datos reales y buscando aplicaciones de los conocimientos estadísticos adquiridos. 
  • Mostrar y acercar el protagonismo de la Estadística en distintos aspectos de la sociedad a estudiantes y docentes, dándola a conocer como estudio universitario. 
  • Promover el trabajo en equipo y la colaboración para conseguir objetivos comunes.

Nuestro alumna representó a nuestro centro por la categoría de Bachillerato, debiendo superar una primera fase que consistía en unas pruebas sobre conocimientos básicos, otra sobre el uso de fuentes de datos estadísticos oficiales y, por último, una prueba de interpretación de informes estadísticos.
Superada la 1ª fase (con 90 puntos de un máximo de 100), la segunda y última fase consistía en realizar una prueba de investigación estadística donde había que realizar un trabajo de análisis y explotación de un conjunto de datos que fue facilitado por el comité organizador. Este año los datos consistían en una muestra de 200 hogares españoles donde, en cada uno de ellos, se proporcionaba información sobre variables relacionadas con el hogar y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Después de varias semanas de trabajo para superar la 1ª fase y realizar el trabajo de la 2ª fase, nos llevamos la gran sorpresa de que el jurado había considerado el trabajo de Míriam el mejor en su categoría, obteniendo así el 1er premio y por tanto ser la ganadora de la IV Olimpiada Nacional de Estadística.

A continuación podeís ver el trabajo realizado para la 2ª fase:


Una vez conocida la noticia, y pasado un tiempo, nos llamaron para la entrega oficial del premio. Fue en la Delegación de Málaga del Instituto Nacional de Estadística (INE) y allí pudimos compartir un buen rato con los compañeros de clase de Estadística que asistieron al acto y donde a todos, previo al acto, pudimos disfrutar de una charla donde los trabajadores del INE de Málaga nos mostraron el trabajo que realizan allí.

Míriam Bettinetti Luque, ganadora de la IV Olimpiada Estadística


Foto de grupo con compañeros de clase, finalistas y autoridades

¡Enhorabuena Míriam! Y gracias por haberme hecho partícipe de tu interés, entrega y trabajo. ¡Ha sido un placer tenerte como alumna y haber podido trabajar contigo!

En el siguiente enlace se puede ver toda la información de la IV Olimpiada Estadística:

viernes, 25 de marzo de 2016

Liga de campeones, regla del producto y probabilidades

Soy seguidor en Twitter de Eduardo Sáenz de Cabezón, @edusadeci, desde hace tiempo, a raíz de un monólogo científico muy simpático y ya muy conocido: "Las matemáticas son para siempre".
Por cierto,  también tiene un canal en Youtube, llamado Derivando, que trata de temas matemáticos expuestos de forma simple y amena.
A veces lanza un "tuit-reto" matemático y, claro, como a mí también me gusta proponer alguno a mis alumnos, me siento aludido y, para ser consecuente y dar ejemplo, lo acepto. En este caso habla sobre la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en el sorteo de cuartos de final de la Liga de Campeones, conocida también por la Champions League. El tuit en cuestión era el siguiente:

Como no soy muy "futbolero", lo primero que tuve que hacer es enterarme de cómo se  iba a realizar el sorteo. Parece ser que se trata de un sorteo abierto donde se extraen, de forma sucesiva y en una especie de ensaladera trasparente, bolas  con forma de balón en cuyo interior se encuentra un papel con el nombre del equipo. Hay ocho bolas, cada una con el nombre de un equipo que ha llegado a cuartos de final, donde por cierto hay 3 equipos españoles (Real Madrid, Barcelona y Atlético de Madrid) y 5 no españoles (Wolfsburg, Benfica, Paris Saint-Germain, Manchester City y Bayern de Múnich). Las dos primeras bolas conforman el primer emparejamiento, las dos siguientes otro y así sucesivamente hasta obtener los cuatro emparejamientos. La información la he obtenido de la página web de la UEFA Champions League donde incluso se pueden ver los vídeos del sorteo.

Con la información completa, pasamos a la fase de pensar cómo se podría calcular la probabilidad pedida. Para no extenderme, tengo que confesar que, como dice Eduardo en el tuit, "no es tan fácil como parece": usé métodos que, aún siendo correctos en su planteamiento y permitiendo obtener una respuesta, no eran eficientes. Explico la no eficiencia: demasiados cálculos o con cierta complejidad en su planteamiento (pensando en mis potenciales alumnos de Secundaria o Bachillerato)

Siempre me ha gustado, y como profesor me parece muy apropiado y didáctico, el analizar un problema desde distintos puntos de vista (usando distintas ideas, estrategias, procedimientos, ...) Pero me apasiona la búsqueda de un procedimiento simple con el que se puede resolver un problema matemático. La simplicidad en la resolución de los problemas es parte de la belleza que tienen las Matemáticas, y en este caso creo que encontré la idea simple que da con la solución a la pregunta en cuestión: la regla del producto...sí, aquella que dice que si tenemos 3 camisas y 5 pantalones distintos podemos vestirnos de 3.5=15 formas diferentes. Me explico:

El sorteo de emparejamientos realizado por la UEFA para emparejar a los equipos en los cuartos de final de la Liga de Campeones se puede equiparar a ordenar los 8 equipos, previamente numerados del 1 al 8, de forma que los dos primeros conformarían un emparejamiento, los dos siguientes otro, etc. En este caso habría 8.7.6.5.4.3.2.1=8! formas de hacerlo (usando la regla del producto, hay 8 equipos a escoger la primera vez, 7 la segunda, 6 la tercera, etc.) 

Ejemplo de ordenación de los ocho equipos


Es interesante hacer notar que cualquiera ordenación anterior es equiprobable, aspecto importante porque para calcular la probabilidad pedida sólo se va a utilizar la regla de Laplace.

Por otro lado, vamos a contabilizar las ordenaciones que permitirían un emparejamiento de equipos españoles: para ello imaginemos los ocho equipos ordenados y los separamos en bloques de 2 equipos (cada bloque conformaría un emparejamiento de cuartos de final)

2-7, 5-4, 1-3 y 6-8 serían los emparejamientos de cuartos de final

Tenemos que contabilizar las ordenaciones en las que hay dos equipos españoles en alguno de los cuatro bloques que conformarían un emparejamiento en cuartos. Fácil de calcular ya que: 

  • Hay 6 formas de elegir dos equipos españoles de entre los tres que hay (puedo elegir cualquier de los 3, luego cualquiera de los 2 que queda y usamos la regla del producto)
  • Hay cuatro bloques donde elegir para ubicar a cualquiera de los 6 posibles emparejamientos de equipos españoles.
  • Una vez ocupado un bloque con un emparejamiento de equipos españoles hay que ordenar los 6 equipos restantes y eso se hace de 6!=6.5.4.3.2.1 formas (la regla del producto de nuevo)
De nuevo, usando otra vez la regla del producto, tendremos 6.4.6! formas de ordenar los ocho equipos con un emparejamiento de equipos españoles.

Ya podemos terminar calculando la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en cuartos de final, siendo ésta:


Lógicamente, la probabilidad de que no haya emparejamiento español sería 4/7, con lo que es un "poco" más probable que no haya emparejamiento de equipos españoles.

PD: Cuando terminé de resolver el problema ya se había celebrado el sorteo y resultó que sí va a ver emparejamiento de equipos españoles (Barcelona- Atlético de Madrid).



lunes, 25 de mayo de 2015

¿Cuánto mide la costa de Andalucía? Introducción y una aplicación práctica de la geometría fractal

El pasado 13 de mayo tuvo lugar en el Palacio de Congresos "Adolfo Suárez" de Marbella el VIII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula, organizado por el Centro del Profesorado Marbella-Coín, en el que varios grupos de alumnos y alumnas de diversos IES de Andalucía expusieron, como si de un congreso se tratase, algunos trabajos de investigación científica que han llevado a cabo durante este curso académico. 



En dicho Encuentro, un grupo de alumnos de 2º de Bachillerato del IES Fuengirola nº 1, Álvaro Blanca Hoyos, Abdeslam Bounaaja,  Juan Manuel del Valle Blanco y María Díaz Expósito, defendieron y expusieron un trabajo que consistía en una aplicación práctica de la geometría fractal. 

De izquierda a derecha: Abdeslam, Juan Manuel, Álvaro, María y  Nicolás (profesor-coordinador)

El problema de investigación surgió a la hora de intentar responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es la longitud del litoral andaluz?

Se obtuvieron diversas respuestas: 945 km , 1101 km, 800 km y 910 km, obtenidas de diversos organismos o instituciones "oficiales" como el Instituto Nacional de Estadística, la Junta de Andalucía (a través de la Consejería de Medio Ambiente que toma como fuente de información el Instituto de Estadística y Cartografía de Andalucía) y el Instituto Geográfico Nacional.

Esta diferencia fue lo que nos llevó a preguntarnos porqué ocurría eso, añadiendo el hecho de que en ninguna se ofrecía explicación alguna de cómo se había obtenido dicha longitud.


Nuestro trabajo de investigación iba a centrarse en intentar dar respuesta a la pregunta principal, analizando el porqué de la disparidad de datos obtenidos y, por último, dar una respuesta razonada, basándonos en teorías e investigaciones previas y usando métodos adecuados para ello (método de Richardson y método box-counting), introduciendo para ello la geometría fractal como geometría válida para interpretar y analizar objetos de la naturaleza, en detrimento de la geometría clásica euclidiana que resultaba insuficiente para responder a nuestra pregunta.

El resultado de este trabajo se plasmó en un póster (pincha en él para ampliar):




En plena exposición y defensa del proyecto
Al final elaboramos una página web con una información muy detallada del proyecto.

Por último, comentar que la experiencia fue muy agradable y única. Tuvimos la oportunidad de poder comunicar nuestra investigación, así como intercambiar experiencias y conocer el trabajo realizado por otros compañeros de diversos centros educativos.


lunes, 16 de marzo de 2015

¿√4=±2?

En más de una ocasión he escuchado o leído de un alumno que, por ejemplo, √4=±2. Yo suelo entonces preguntarle qué observa en un número, al escribirlo o nombrarlo, cuando éste es negativo (menor que 0). La respuesta es que aparece un "menos" delante, es decir, que por ejemplo -3 (leído "menos tres") es un número negativo porque lleva el signo "-" delante del 3. También les suelo preguntar si √2 es un número negativo o positivo (mayor que 0). Inmediatamente se dan cuenta de que √4 es un número positivo y, aunque no lo suelen decir, entran en shock cuando previamente vuelven a pensar en lo que respondieron anteriormente. Recuerdo, cuando estudiaba el primer año de carrera, que fue a un profesor cuando por primera vez le vi escribir en la pizarra que:



Nada más simple, y al mismo tiempo más claro. Ahora, sin lugar a dudas, se resuelven todas las posibles casuísticas que se presenten. A saber, y a modo de ejemplo:


Evitando los errores como: 


O bien:

Aludiendo a la archiconocida frase "el cuadrado con la raíz se va".

Yo me pregunté, hace tiempo, el por qué de este error tan común. Creo que la explicación puede ser doble: 

1) Por un lado, la tendencia memorística del alumnado a la hora de llevar a cabo un procedimeinto pero sin esa "alerta permanente" que les permita estar atentos a si tiene o no sentido lo que van haciendo y obteniendo.

2) Por otro lado, el uso de la técnica de la "comparación" pero sin extrapolar el contexto o el significado de lo que se está haciendo en cada caso. Me explico: no es raro que cuando resuelven alguna ecuación les aparezca, por ejemplo:


A partir de la cual, escriben inmediatamente:



Ciertamente, es correcto que hay dos soluciones pero NO porque √25=±5 sino porque si  x=5 cumple la ecuación, entonces x=-5 también ya que (-5)²=25. Por eso prefiero, llegado a la expresión x²=25, continuar x=√25=5 y, a continuación, razonar la otra posibilidad como antes se ha hecho.







lunes, 26 de mayo de 2014

Investigando en 1º de Bachillerato: "El inconmensurable π y el método de «exhaución»"

Aunque un poco precipitadamente, dada la premura de tiempo, un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato, Álvaro Blanca, Abdeslam Bounaaja,  Juan Manuel del Valle y María Díaz, tuvieron la oportunidad de poder realizar una investigación en Matemáticas. Los objetivos eran simples: por un lado, y con la excusa de un proyecto de investigación, observar la conexión entre diferentes contenidos trabajados durante este curso académico (álgebra, número complejos, trigonometría, geometría y análisis; por otro lado, el poder participar en el VII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula.


En este Encuentro, los alumnos han tenido la oportunidad de no sólo exponer su trabajo sino también de conocer las investigaciones de otros compañeros y compañeras de diversos centros de Andalucía. La verdad es que ha sido toda una experiencia.


De izquierda a derecha: María, Nicolás (profesor-coordinador), Álvaro, Juan Manuel y Abdeslam

El tema de la investigación partió del descubrimiento de los números irracionales (inconmensurables) por parte de los "Pitagóricos" allá por el s. V. a. C. Esto supuso una auténtica "crisis" en la época ya que por aquel entonces se creía que toda magnitud era finita y se podía expresar mediante una razón o proporción entre números enteros. Durante el s. IV a. C., Eudoxo de Cnido, un destacado miembro de la Academia de Platón, dio una solución aceptable a la crisis ideando “La teoría de las proporciones” y el llamado método de “exhaución”. La idea principal surge de que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada".
Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, o el área de un círculo, podemos aproximarnos “tanto como queramos” a dichas magnitudes a partir de polígonos regulares inscritos, o circunscritos, a la circunferencia.

Arquímedes de Siracusa (s. III a.C.), usando la idea de Eudoxo y la ya conocida obra de Euclides, “Elementos de Geometría”, consiguió una aproximación del número  muy aceptable. Estamos hablando de una época donde no se conocía el Álgebra y  se carecía de una notación adecuada como la que actualmente existe y usamos con naturalidad.

Dicho método de aproximación se puede considerar el germen del concepto de “límite”, lo que posteriormente sería el cálculo infinitesimal [del que tanto Isaac Newton (1642-1727) como Gottfried W. Leibniz (1646-1716) son considerados los creadores]. Más adelante permitió el desarrollo del cálculo integral que, entre otras aplicaciones, permite el cálculo de áreas de figuras planas y la longitud de una curva.

El presente trabajo de investigación pretende, partiendo de la idea de Eudoxo y su método de “exhaución”, conseguir el valor exacto del área del círculo y la longitud de una circunferencia usado la notación, contenidos y procedimientos actuales, en particular el paso al “límite” de la sucesión de los perímetros o áreas de polígonos regulares cuando aumenta el número de lados de forma indefinida.

El resultado de este trabajo se plasmó en un póster:

 Póster investigación
Se puede ver el póster en el siguiente enlace: Póster de la investigación

Se creó una página web con una información más detallada del proyecto.