viernes, 19 de enero de 2018

Integrales trigonométricas: cambio de variable general

Las integrales trigonométricas son particularmente “difíciles” por la casuística que hay que tener en cuenta. Sin entrar en detalles de los cambios de variable, según casos fácilmente detectables, y los “trucos” que algunas veces se utilizan para convertir una integral trigonométrica en otra asequible, existe un cambio general de variable que permite SIEMPRE convertir una integral trigonométrica en una racional. Este cambio sólo se aconseja en casos de desesperación, es decir, cuando se han agotado otras vías o nos es imposible detectar la estrategia a seguir para conseguir resolver la integral de una forma más sencilla.

El cambio de variable es t=tg(x/2), del cual se deduce que:


La justificación de las igualdades anteriores no son evidentes.

En el siguiente enlace se encuentran las explicaciones y el desarrollo completo de algunos ejemplos seleccionados.

lunes, 15 de enero de 2018

Editor de ecuaciones online útil para insertar en un correo electrónico

De todos es conocidos el editor de ecuaciones de Word o, si usamos Open Office o Libre Office, el insertar una ecuación en un documento de texto. A veces tenemos que hacer lo mismo on line. Para ello existen varios editores de ecuaciones online y MathCast es uno de ellos. Se trata de un editor de ecuaciones, concretamente una aplicación que permite introducir, de forma sencilla con un poco de práctica, fórmulas y símbolos matemáticos. Estas expresiones se pueden utilizar en documentos escritos y páginas web. MathCast es una aplicación gratuita y de código abierto.




Uso: A veces escribimos un correo electrónico y nos resulta imposible insertar un símbolo o expresión matemática (a menos que lo hagamos como si fuera una imagen y lo insertemos). Ahora es más cómodo si lo que queremos hacer, por ejemplo, en un correo de Gmail. Si escribimos la expresión en el editor MathCast, después sólo tenemos que dirigirnos a "Direct Link" para copiar la dirección web y, posteriormente, insertar la imagen en el correo usando la opción de pegar la url anterior. Aparecerá la expresión matemática en la ventana donde estáis redactando el correo electrónico y podéis seguir escribiendo, insertando otra y luego enviar el mismo. Aunque no es imprescindible, está la opción de pinchar en "Make short link" para obtener dicho enlace pero más "corto".

sábado, 13 de enero de 2018

Raíces cuadradas sucesivas de un número positivo

Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").
Usando el lenguaje matemático te pido que:


Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:



Te propongo unas preguntas:

1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo. ¿Podrías expresar qué has observado?

Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:

(siendo x>0)

2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1?

3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es exactamente 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?

Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!

sábado, 18 de febrero de 2017

Cuadernillo Matemático

Hace tiempo, en diciembre de 2005, se me ocurrió la idea de elaborar una especie de cuaderno con preguntas relacionadas con contenidos matemáticos. Lo hice pensando en un grupo de alumnos de 4º de ESO que tenía ese año y que eran muy curiosos, en el sentido de que les gustaban los retos y las propuestas que les hacía en clase. De ahí nació lo que llamé el "Cuadernillo Matemático" que adjunto a esta entrada por si alguien, si le parece bien y oportuno, lo pueda usar con sus alumnos. Está pensado para un nivel de 4º de ESO aunque, como es normal, hay cierta flexibilidad y puede ser usado también en 3º ESO Académicas o Bachillerato.



¿Alguien se anima? Si es así, espero comentarios.

sábado, 26 de noviembre de 2016

Pequeños o grandes, pero humildes, proyectos de investigación o experimentación, ¿te animas?

En algunas ocasiones, a veces de forma espontánea, propongo lo que yo llamo pequeñas y humildes experimentos o investigaciones. Observar, preguntar, reflexionar, pensar, planificar, experimentar, responder, comunicar...son palabras, más bien verbos, que forman parte de un hecho natural en el ser humano y un principio básico en la metodología científica: observamos y nos hacemos preguntas (hay veces que observamos y desconocemos lo que observamos, es natural que busquemos respuestas), queremos respuestas y para ello elaboramos hipótesis, finalmente llevamos a cabo experiencias (que hay que planificar) para ver si aceptamos o rechazamos nuestras suposiciones (hipótesis, o también para que surjan nuevas preguntas) Finalmente damos una explicación y la comunicamos (el acto de comunicar, difundir y compartir los resultados y sus consecuencias, no sólo es un acto de generosidad,  es lo que ha hecho progresar a la humanidad)

Fases del método científico
La idea es simple: partimos de algo que observamos y nos hacemos preguntas. Ahora realizamos hipótesis, es decir, afirmaciones que pensamos van a ser ciertas en relación a lo que nos preguntamos. 

Posteriormente pensamos (planificamos) el experimento o la investigación para intentar dar una respuesta, elegimos los instrumentos adecuados para obtener datos que nos permita justificar una respuesta coherente y sensata. Los instrumentos científicos pueden ser variados, como puede observar en el siguiente enlace obtenido de la wikipedia: instrumentos científicos. A veces no hacen falta instrumentos tan sofisticados, sino algunos de los más habituales como: regla milimetrada, hilo, compás, papel, etc. En algunas ocasiones es necesario buscar información relacionada con nuestra investigación, ya que puede ocurrir que alguien haya pensado en lo mismo y, por tanto, nos permita ahorrar trabajo y, por ejemplo, no caer en algunos errores. Ésta se puede encontrar en libros, revistas e incluso por Internet. En cualquier caso, siempre procura que sean fuentes de información fiables, es decir, que se pueda confiar en que dicha información es cierta.

Realizamos el experimento y tomamos datos relevantes que nos van a interesar para luego extraer conclusiones. Estos datos son información que es conveniente organizar, bien con tablas o gráficos, ya que normalmente son números que resultan de medir algo, y que nos ayudarán a entender mejor los mismos.

Posteriormente se intenta dar una respuesta a nuestras preguntas iniciales en base a los datos obtenidos en la experimentación y comprobando si nuestras hipótesis iniciales se cumplen o no.

Por último, siempre es conveniente redactar todo lo acontecido en nuestra investigación y comunicarlo a otras personas.

Propuesta: Tomamos un libro de texto cualquiera que tengas este curso. ¿Te has preguntado cuál es el grosor de una de sus hojas?

Eliges el libro de texto y una hoja cualquiera. Empiezas a hacer hipótesis del tipo "Creo que el grosor es de ....". Imagino que tomas tu regla e intentas medir el grosor de la hoja...llevándote una decepción porque el grosor es tan pequeño que no puedes observar con precisión su medida porque es menor que la longitud mínima que señala tu regla. ¿Qué hacer? Habrá que plantear algo que nos permite dar una respuesta a la pregunta y que valide, o no, nuestra hipótesis.

¿Te animas?



miércoles, 16 de noviembre de 2016

Míriam Bettinetti gana la IV Olimpiada Nacional de Estadística

Esta noticia la escribo un poco tarde pero ya lo dice el refrán, "Más vale tarde que nunca".
El curso pasado la alumna de 2º de Bachillerato de Ciencias de nuestro centro, Míriam Bettinetti Luque, participó junto con su tutor, Nicolás Guillén Escalona, en la IV Olimpiada Nacional de Estadística (organizada por el INE, Instituto Nacional de Estadística, la SEIO, Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa y la FEE, Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense de Madrid). Alrededor de 500 centros educativos de España pudieron participar en cualquiera de las siguientes categorías: Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Ciclos Formativos de Grado Medio.

Los objetivos fundamentales de esta Olimpiada eran:
  • Promover la curiosidad y el interés en la Estadística entre los estudiantes.
  • Incentivar en los docentes el uso de nuevos materiales para la enseñanza de la Estadística fomentando la utilización de datos reales y buscando aplicaciones de los conocimientos estadísticos adquiridos. 
  • Mostrar y acercar el protagonismo de la Estadística en distintos aspectos de la sociedad a estudiantes y docentes, dándola a conocer como estudio universitario. 
  • Promover el trabajo en equipo y la colaboración para conseguir objetivos comunes.

Nuestro alumna representó a nuestro centro por la categoría de Bachillerato, debiendo superar una primera fase que consistía en unas pruebas sobre conocimientos básicos, otra sobre el uso de fuentes de datos estadísticos oficiales y, por último, una prueba de interpretación de informes estadísticos.
Superada la 1ª fase (con 90 puntos de un máximo de 100), la segunda y última fase consistía en realizar una prueba de investigación estadística donde había que realizar un trabajo de análisis y explotación de un conjunto de datos que fue facilitado por el comité organizador. Este año los datos consistían en una muestra de 200 hogares españoles donde, en cada uno de ellos, se proporcionaba información sobre variables relacionadas con el hogar y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Después de varias semanas de trabajo para superar la 1ª fase y realizar el trabajo de la 2ª fase, nos llevamos la gran sorpresa de que el jurado había considerado el trabajo de Míriam el mejor en su categoría, obteniendo así el 1er premio y por tanto ser la ganadora de la IV Olimpiada Nacional de Estadística.

A continuación podeís ver el trabajo realizado para la 2ª fase:


Una vez conocida la noticia, y pasado un tiempo, nos llamaron para la entrega oficial del premio. Fue en la Delegación de Málaga del Instituto Nacional de Estadística (INE) y allí pudimos compartir un buen rato con los compañeros de clase de Estadística que asistieron al acto y donde a todos, previo al acto, pudimos disfrutar de una charla donde los trabajadores del INE de Málaga nos mostraron el trabajo que realizan allí.

Míriam Bettinetti Luque, ganadora de la IV Olimpiada Estadística


Foto de grupo con compañeros de clase, finalistas y autoridades

¡Enhorabuena Míriam! Y gracias por haberme hecho partícipe de tu interés, entrega y trabajo. ¡Ha sido un placer tenerte como alumna y haber podido trabajar contigo!

En el siguiente enlace se puede ver toda la información de la IV Olimpiada Estadística:

viernes, 25 de marzo de 2016

Liga de campeones, regla del producto y probabilidades

Soy seguidor en Twitter de Eduardo Sáenz de Cabezón, @edusadeci, desde hace tiempo, a raíz de un monólogo científico muy simpático y ya muy conocido: "Las matemáticas son para siempre".
Por cierto,  también tiene un canal en Youtube, llamado Derivando, que trata de temas matemáticos expuestos de forma simple y amena.
A veces lanza un "tuit-reto" matemático y, claro, como a mí también me gusta proponer alguno a mis alumnos, me siento aludido y, para ser consecuente y dar ejemplo, lo acepto. En este caso habla sobre la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en el sorteo de cuartos de final de la Liga de Campeones, conocida también por la Champions League. El tuit en cuestión era el siguiente:

Como no soy muy "futbolero", lo primero que tuve que hacer es enterarme de cómo se  iba a realizar el sorteo. Parece ser que se trata de un sorteo abierto donde se extraen, de forma sucesiva y en una especie de ensaladera trasparente, bolas  con forma de balón en cuyo interior se encuentra un papel con el nombre del equipo. Hay ocho bolas, cada una con el nombre de un equipo que ha llegado a cuartos de final, donde por cierto hay 3 equipos españoles (Real Madrid, Barcelona y Atlético de Madrid) y 5 no españoles (Wolfsburg, Benfica, Paris Saint-Germain, Manchester City y Bayern de Múnich). Las dos primeras bolas conforman el primer emparejamiento, las dos siguientes otro y así sucesivamente hasta obtener los cuatro emparejamientos. La información la he obtenido de la página web de la UEFA Champions League donde incluso se pueden ver los vídeos del sorteo.

Con la información completa, pasamos a la fase de pensar cómo se podría calcular la probabilidad pedida. Para no extenderme, tengo que confesar que, como dice Eduardo en el tuit, "no es tan fácil como parece": usé métodos que, aún siendo correctos en su planteamiento y permitiendo obtener una respuesta, no eran eficientes. Explico la no eficiencia: demasiados cálculos o con cierta complejidad en su planteamiento (pensando en mis potenciales alumnos de Secundaria o Bachillerato)

Siempre me ha gustado, y como profesor me parece muy apropiado y didáctico, el analizar un problema desde distintos puntos de vista (usando distintas ideas, estrategias, procedimientos, ...) Pero me apasiona la búsqueda de un procedimiento simple con el que se puede resolver un problema matemático. La simplicidad en la resolución de los problemas es parte de la belleza que tienen las Matemáticas, y en este caso creo que encontré la idea simple que da con la solución a la pregunta en cuestión: la regla del producto...sí, aquella que dice que si tenemos 3 camisas y 5 pantalones distintos podemos vestirnos de 3.5=15 formas diferentes. Me explico:

El sorteo de emparejamientos realizado por la UEFA para emparejar a los equipos en los cuartos de final de la Liga de Campeones se puede equiparar a ordenar los 8 equipos, previamente numerados del 1 al 8, de forma que los dos primeros conformarían un emparejamiento, los dos siguientes otro, etc. En este caso habría 8.7.6.5.4.3.2.1=8! formas de hacerlo (usando la regla del producto, hay 8 equipos a escoger la primera vez, 7 la segunda, 6 la tercera, etc.) 

Ejemplo de ordenación de los ocho equipos


Es interesante hacer notar que cualquiera ordenación anterior es equiprobable, aspecto importante porque para calcular la probabilidad pedida sólo se va a utilizar la regla de Laplace.

Por otro lado, vamos a contabilizar las ordenaciones que permitirían un emparejamiento de equipos españoles: para ello imaginemos los ocho equipos ordenados y los separamos en bloques de 2 equipos (cada bloque conformaría un emparejamiento de cuartos de final)

2-7, 5-4, 1-3 y 6-8 serían los emparejamientos de cuartos de final

Tenemos que contabilizar las ordenaciones en las que hay dos equipos españoles en alguno de los cuatro bloques que conformarían un emparejamiento en cuartos. Fácil de calcular ya que: 

  • Hay 6 formas de elegir dos equipos españoles de entre los tres que hay (puedo elegir cualquier de los 3, luego cualquiera de los 2 que queda y usamos la regla del producto)
  • Hay cuatro bloques donde elegir para ubicar a cualquiera de los 6 posibles emparejamientos de equipos españoles.
  • Una vez ocupado un bloque con un emparejamiento de equipos españoles hay que ordenar los 6 equipos restantes y eso se hace de 6!=6.5.4.3.2.1 formas (la regla del producto de nuevo)
De nuevo, usando otra vez la regla del producto, tendremos 6.4.6! formas de ordenar los ocho equipos con un emparejamiento de equipos españoles.

Ya podemos terminar calculando la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en cuartos de final, siendo ésta:


Lógicamente, la probabilidad de que no haya emparejamiento español sería 4/7, con lo que es un "poco" más probable que no haya emparejamiento de equipos españoles.

PD: Cuando terminé de resolver el problema ya se había celebrado el sorteo y resultó que sí va a ver emparejamiento de equipos españoles (Barcelona- Atlético de Madrid).