jueves, 28 de noviembre de 2013

Derivada de una función: teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange

Llevamos un tiempo, durante este primer trimestre, estudiando la función derivada de funciones reales y, más concretamente, sus usos y aplicaciones más relevantes: estudio de la monotonía (intervalos de crecimiento-decrecimiento), búsqueda de extremos (máximos-mínimos), estudio de la curvatura (intervalos de concavidad-convexidad), puntos de inflexión, rectas tangentes a la gráfica, problemas de optimización, etc.

El concepto de derivada de una función en un punto y, por tanto, el hecho de que una función sea derivable en un intervalo, es una propiedad muy potente que nos ha permitido analizar y obtener múltiples características de la misma muy útiles, no sólo porque así conocemos mejor a la función, sino porque dichas informaciones nos permite responder a pregunta cuya respuesta inicial no es evidente.

Hay un par de resultados importantes que no hemos visto en clase y son dignos de mencionar, los teoremas denominados teorema de Rolle y teorema del valor medio o de Lagrange.

En el siguiente enlace podréis acceder a un documento que he elaborado y que habla de ambos, espero que os resulte interesante.



jueves, 21 de noviembre de 2013

La lata nos da "la lata"

A raíz de un problema de optimización visto en clase, os propuse uno relacionado con las latas de refrescos u de otro tipo de productos (pero que sean cilíndricas). Actualmente podemos encontrar latas con diversas alturas y, en el caso de los refrescos, normalmente suelen tener un volumen de 33 cl=330 ml.


El reto consiste en determinar qué dimensiones debe tener una lata cilíndrica (radio de la base y altura) para que, con un volumen constante de 33 cl, la superficie total sea mínima.

Intentad plantearlo y resolverlo, para poder contrastar vuestro trabajo os indico el enlace con el desarrollo que he realizado del mismo.



viernes, 15 de noviembre de 2013

Un problema de clase

Ayer surgió un "problema" en clase cuyo enunciado es:

Un automóvil sube las cuestas a 54 Km/h, las baja a 90 Km/h y en llano marcha a 80 Km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan 192 kilómetros?

Vamos a comenzar a pensar...

Fase 1: Entender el enunciado

Vamos a suponer que primero hay un ascenso, luego un descenso y el trayecto final es llano. También es necesario suponer que la velocidad, en cada tramo, es constante (es decir, consideramos que el movimiento es rectilíneo uniforme)
Las anteriores afirmaciones deberían haber estado en el enunciado, ya que una de las cualidades que debe tener el enunciado de un problema es que sea claro y sin ambigüedades.

Datos:
Velocidad en ascenso= 54 km/h
Velocidad en descenso= 90 km/h
Velocidad en llano= 80 km/h
Tiempo en ir desde A hasta B= 2 h 30 m=2´5 horas
Tiempo en ir desde B hasta A= 2 h 38 min≈2´63 horas
Distancia entre A y B=192 km

Fase 2: Buscar relaciones












Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas, aunque a nosotros sólo nos interesa una)

Fase 3: Resolver

Si usamos, entre otros, Wiris (programa de cálculo matemático) obtenemos:


Fase 4: Interpretar



(Además hemos obtenido la longitud de los otros tramos)

Enlace a Wiris on line en Andalucía:


miércoles, 6 de noviembre de 2013

Esquema algebraico

Estamos trabajando el álgebra, "manejando" expresiones algebraicas que nos permita resolver determinadas situaciones donde, en la mayoría de los casos, se nos plantea resolver una determinada ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones o inecuaciones. Existen técnicas para resolverlas, algunas incluso son válidas para distintos casos. Os voy a proporcionar un esquema que, en parte, os permita ver las relaciones entre ellas con algunas consideraciones a tener en cuenta, especialmente con la parte más "difícil" como es la resolución de problemas (que es la parte que realmente da sentido a este bloque ya que muestran la utilidad, en contextos más o menos reales, de lo que estamos analizando e intentando comprender)




Enlace para visualizarlo a mayor tamaño o descargarlo: esquema