lunes, 26 de mayo de 2014

Investigando en 1º de Bachillerato: "El inconmensurable π y el método de «exhaución»"

Aunque un poco precipitadamente, dada la premura de tiempo, un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato, Álvaro Blanca, Abdeslam Bounaaja,  Juan Manuel del Valle y María Díaz, tuvieron la oportunidad de poder realizar una investigación en Matemáticas. Los objetivos eran simples: por un lado, y con la excusa de un proyecto de investigación, observar la conexión entre diferentes contenidos trabajados durante este curso académico (álgebra, número complejos, trigonometría, geometría y análisis; por otro lado, el poder participar en el VII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula.


En este Encuentro, los alumnos han tenido la oportunidad de no sólo exponer su trabajo sino también de conocer las investigaciones de otros compañeros y compañeras de diversos centros de Andalucía. La verdad es que ha sido toda una experiencia.


De izquierda a derecha: María, Nicolás (profesor-coordinador), Álvaro, Juan Manuel y Abdeslam

El tema de la investigación partió del descubrimiento de los números irracionales (inconmensurables) por parte de los "Pitagóricos" allá por el s. V. a. C. Esto supuso una auténtica "crisis" en la época ya que por aquel entonces se creía que toda magnitud era finita y se podía expresar mediante una razón o proporción entre números enteros. Durante el s. IV a. C., Eudoxo de Cnido, un destacado miembro de la Academia de Platón, dio una solución aceptable a la crisis ideando “La teoría de las proporciones” y el llamado método de “exhaución”. La idea principal surge de que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada".
Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, o el área de un círculo, podemos aproximarnos “tanto como queramos” a dichas magnitudes a partir de polígonos regulares inscritos, o circunscritos, a la circunferencia.

Arquímedes de Siracusa (s. III a.C.), usando la idea de Eudoxo y la ya conocida obra de Euclides, “Elementos de Geometría”, consiguió una aproximación del número  muy aceptable. Estamos hablando de una época donde no se conocía el Álgebra y  se carecía de una notación adecuada como la que actualmente existe y usamos con naturalidad.

Dicho método de aproximación se puede considerar el germen del concepto de “límite”, lo que posteriormente sería el cálculo infinitesimal [del que tanto Isaac Newton (1642-1727) como Gottfried W. Leibniz (1646-1716) son considerados los creadores]. Más adelante permitió el desarrollo del cálculo integral que, entre otras aplicaciones, permite el cálculo de áreas de figuras planas y la longitud de una curva.

El presente trabajo de investigación pretende, partiendo de la idea de Eudoxo y su método de “exhaución”, conseguir el valor exacto del área del círculo y la longitud de una circunferencia usado la notación, contenidos y procedimientos actuales, en particular el paso al “límite” de la sucesión de los perímetros o áreas de polígonos regulares cuando aumenta el número de lados de forma indefinida.

El resultado de este trabajo se plasmó en un póster:

 Póster investigación
Se puede ver el póster en el siguiente enlace: Póster de la investigación

Se creó una página web con una información más detallada del proyecto.